Probabilidades e combinatória: exercícios resolvidos de Matemática A
Arranjos, combinações e regra de Laplace, probabilidade condicionada e modelo normal: como decidir se a ordem conta, os erros mais comuns e exercícios resolvidos de Matemática A.
Probabilidades é dos temas de Matemática A em que mais alunos sentem que «sabem a fórmula mas não sabem quando a usar». A dificuldade raramente está nas contas: está em decidir, antes de calcular, se a ordem conta e se há repetição.
A pergunta que decide tudo: a ordem conta?
Antes de escrever qualquer fórmula, imagine dois resultados que só diferem na ordem. São resultados diferentes?
- Sim, a ordem conta (um código, uma classificação, lugares numa fila): arranjos. Sem repetição, o número de sequências de p elementos escolhidos entre n é n × (n − 1) × ... × (n − p + 1). Com repetição, é nᵖ.
- Não, a ordem não conta (uma equipa, uma mão de cartas, um conjunto de bolas tiradas de uma vez): combinações, C(n, p).
- Todos os elementos ficam ordenados (sentar n pessoas em n lugares): permutações, n!.
O princípio fundamental da contagem, que multiplica as escolhas de cada etapa, resolve a maior parte dos problemas sem decorar fórmula nenhuma.
Regra de Laplace
Quando os resultados são equiprováveis, P(A) = casos favoráveis / casos possíveis. O erro clássico é contar os casos possíveis com ordem e os favoráveis sem ordem (ou o contrário). Escolha uma convenção e use-a nos dois.
Probabilidade condicionada e independência
- P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B): a probabilidade de A sabendo que B aconteceu.
- A e B são independentes quando P(A ∩ B) = P(A) × P(B), ou seja, quando saber que B aconteceu não muda a probabilidade de A.
- Independentes não é o mesmo que incompatíveis. Acontecimentos incompatíveis (P(A ∩ B) = 0), com probabilidades positivas, nunca são independentes.
Uma tabela de dupla entrada ou um diagrama em árvore tornam visíveis as interseções e evitam metade dos erros.
Modelo normal
Numa distribuição normal de valor médio μ e desvio padrão σ, há três valores de referência:
- P(μ − σ < X < μ + σ) ≈ 0,6827
- P(μ − 2σ < X < μ + 2σ) ≈ 0,9545
- P(μ − 3σ < X < μ + 3σ) ≈ 0,9973
A curva é simétrica em relação a μ: metade de cada intervalo fica de cada lado. Muitos itens resolvem-se com estes valores e com a simetria, sem calculadora.
Exercícios resolvidos
O primeiro é de contagem (11.º ano); os outros dois, de probabilidades (12.º ano).
11.º ano · Matemática discreta
Exemplo 1: Contagem
O código de acesso a um cacifo da escola é formado por quatro algarismos (de 0 a 9), todos diferentes.
Quantos códigos diferentes existem?
- (A)5040
- (B)10 000
- (C)210
- (D)6561
Ver resposta e resolução
Opção correta: (A) 5040
Num código a ordem conta e não há repetição: trata-se de sequências de 4 elementos distintos escolhidos entre 10, isto é, 10 × 9 × 8 × 7 = 5040.
- (A) Correta. Há 10 escolhas para o 1.º algarismo, 9 para o 2.º, 8 para o 3.º e 7 para o 4.º: 10 × 9 × 8 × 7 = 5040.
- (B) Incorreta. 10⁴ = 10 000 contaria também os códigos com algarismos repetidos.
- (C) Incorreta. 210 é o número de conjuntos de 4 algarismos; num código, a ordem dos algarismos importa.
- (D) Incorreta. 9⁴ = 6561 não corresponde a esta contagem: fixa 9 opções em todas as posições.
Dica de estudo: Pergunte sempre: a ordem interessa? Pode haver repetição? As duas respostas indicam o modelo de contagem a usar.
Questão autoral da Neves Scholar IA, elaborada com base nas Aprendizagens Essenciais (DGE); não é item de exame nacional.
12.º ano · Probabilidade
Exemplo 2: Modelos de probabilidade em espaços finitos
Uma turma tem 10 alunos interessados num projeto: 6 raparigas e 4 rapazes. Escolhem-se ao acaso 3 desses alunos para uma equipa.
Qual é a probabilidade de a equipa ter exatamente duas raparigas?
- (A)3/10
- (B)1/2
- (C)1/6
- (D)3/5
Ver resposta e resolução
Opção correta: (B) 1/2
Casos possíveis: C(10,3) = 120 equipas. Casos favoráveis: escolher 2 das 6 raparigas e 1 dos 4 rapazes, C(6,2) × C(4,1) = 15 × 4 = 60. Pela regra de Laplace, P = 60/120 = 1/2.
- (A) Incorreta. 3/10 = 36/120 é a probabilidade de a equipa ter exatamente uma rapariga.
- (B) Correta. C(6,2) × C(4,1) / C(10,3) = 15 × 4 / 120 = 60/120 = 1/2.
- (C) Incorreta. 1/6 = 20/120 é a probabilidade de a equipa ser formada só por raparigas.
- (D) Incorreta. 3/5 é a proporção de raparigas na turma, não a probabilidade pedida.
Dica de estudo: Quando a ordem não interessa, conte com combinações; «exatamente duas» obriga a escolher também o elemento do outro grupo.
Questão autoral da Neves Scholar IA, elaborada com base nas Aprendizagens Essenciais (DGE); não é item de exame nacional.
12.º ano · Probabilidade
Exemplo 3: Modelo Normal
A altura, em centímetros, dos alunos de uma escola segue aproximadamente uma distribuição normal de valor médio 170 e desvio padrão 8.
Qual é, aproximadamente, a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ter uma altura entre 162 cm e 178 cm?
- (A)0,9545
- (B)0,3413
- (C)0,9973
- (D)0,6827
Ver resposta e resolução
Opção correta: (D) 0,6827
162 = 170 − 8 e 178 = 170 + 8, logo o intervalo é ]μ − σ, μ + σ[. Numa distribuição normal, P(μ − σ < X < μ + σ) ≈ 0,6827.
- (A) Incorreta. 0,9545 corresponde a ]μ − 2σ, μ + 2σ[, isto é, a alturas entre 154 cm e 186 cm.
- (B) Incorreta. 0,3413 é só metade do intervalo, por exemplo entre 170 cm e 178 cm.
- (C) Incorreta. 0,9973 corresponde a ]μ − 3σ, μ + 3σ[.
- (D) Correta. O intervalo é ]μ − σ, μ + σ[, que concentra cerca de 68,27% da distribuição.
Dica de estudo: Reescreva os extremos do intervalo como μ ± kσ antes de procurar o valor de referência.
Questão autoral da Neves Scholar IA, elaborada com base nas Aprendizagens Essenciais (DGE); não é item de exame nacional.
Erros que custam pontos
- Usar combinações quando a ordem conta (códigos, classificações, cargos diferentes numa equipa).
- Somar probabilidades de acontecimentos que não são incompatíveis, sem subtrair a interseção.
- Confundir P(A | B) com P(B | A).
- No modelo normal, usar 0,6827 para metade do intervalo: entre μ e μ + σ a probabilidade é cerca de 0,3413.
- Apresentar o resultado em percentagem quando se pede uma probabilidade na forma de fração irredutível.
Para o resto da preparação, veja Como estudar Matemática A para o exame nacional e a página Matemática A.
Fontes
Pratique com as 116 questões autorais de Portugal
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