Funções, limites e derivadas: exercícios resolvidos de Matemática A

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O que as Aprendizagens Essenciais pedem em limites, continuidade e derivadas no 11.º e no 12.º ano, como estes temas apareceram na prova 635 de 2026 e exercícios resolvidos passo a passo.

O estudo de funções atravessa o 11.º e o 12.º ano de Matemática A, e é dos temas com mais peso no exame nacional. Este guia mostra o que as Aprendizagens Essenciais pedem, como o tema apareceu na prova de 2026 e três exercícios resolvidos, com a justificação de cada opção.

O que se estuda em cada ano

11.º ano (cálculo diferencial). Taxa média de variação e a sua interpretação como declive de uma reta; derivada num ponto, obtida pela noção intuitiva de limite, e a sua leitura como declive da reta tangente; regras de derivação (soma, produto, quociente e potências); relação entre o sinal da derivada e a monotonia; extremos e problemas de otimização. Ainda no 11.º ano: funções racionais e as suas assíntotas verticais e horizontais.

12.º ano (limites e estudo de funções). Continuidade num ponto e num intervalo; regra de L'Hôpital para as indeterminações 0/0 e ∞/∞ e limites notáveis; assíntotas verticais e não verticais; derivadas das funções exponencial, logarítmica e trigonométricas e regra da cadeia; segunda derivada, concavidades e pontos de inflexão; teorema de Bolzano-Cauchy e método da bisseção.

As indeterminações 0 × ∞ e ∞ − ∞ não são objeto de estudo nas Aprendizagens Essenciais, mas é preciso reconhecê-las e transformá-las quando aparecem, por exemplo, no cálculo de assíntotas.

Como o tema apareceu na prova de 2026

Na prova 635 da 1.ª fase de 2026, um dos grupos partiu de uma função definida por ramos e pediu, sem recorrer à calculadora, a continuidade num ponto, o estudo da monotonia e dos extremos, e a aplicação do teorema de Bolzano-Cauchy. Três lições dos critérios de classificação:

  • A resolução conta por etapas. A apresentação apenas do resultado final é classificada com zero pontos.
  • Há mais do que um caminho. No item da continuidade, os critérios aceitavam o limite notável e também um processo com derivadas: qualquer processo cientificamente correto e previsto nos documentos curriculares é aceite.
  • O formulário ajuda. Traz as regras de derivação e os limites notáveis; não é preciso decorá-los, mas é preciso saber usá-los.

Exercício 1: ler a derivada num gráfico

Quando o gráfico dado é o da derivada, o que interessa é o sinal (acima ou abaixo do eixo Ox), e não a forma da curva.

11.º ano · Funções

Exemplo 1: Sinal da derivada e monotonia

Uma função f, de domínio ℝ, tem derivada f′ cujo gráfico, desenhado na Figura 3, é uma parábola que corta o eixo Ox nos pontos de abcissas −1 e 2.

Parábola f′ com a concavidade voltada para cima, que corta o eixo Ox em x = −1 e x = 2 e o eixo Oy em y = −2; é positiva fora de [−1, 2] e negativa entre −1 e 2.

Para que valor de x a função f tem um mínimo relativo?

  1. (A)−2
  2. (B)−1
  3. (C)1/2
  4. (D)2
Ver resposta e resolução

Opção correta: (D) 2

Pela figura, f′ > 0 em ]−∞, −1[, f′ < 0 em ]−1, 2[ e f′ > 0 em ]2, +∞[. Assim, f é crescente, depois decrescente, depois crescente: tem um máximo relativo em x = −1 e um mínimo relativo em x = 2.

  • (A) Incorreta. −2 é f′(0), a ordenada do ponto em que o gráfico de f′ corta o eixo Oy, e não uma abcissa de extremo.
  • (B) Incorreta. Em x = −1, f′ passa de positiva a negativa: f tem aí um máximo relativo.
  • (C) Incorreta. 1/2 é a abcissa do vértice da parábola, onde f′ tem o seu mínimo; isso não é um extremo de f.
  • (D) Correta. Em x = 2, f′ passa de negativa a positiva: f passa de decrescente a crescente e tem aí um mínimo relativo.

Dica de estudo: Quando o gráfico dado é o da derivada, leia o sinal (acima ou abaixo do eixo Ox) e não a forma da curva.

Questão autoral da Neves Scholar IA, elaborada com base nas Aprendizagens Essenciais (DGE); não é item de exame nacional.

Exercício 2: continuidade de uma função definida por ramos

Em cada ramo, calcule o limite do lado certo e iguale-o ao valor da função no ponto. Se aparecer 0/0, simplifique antes de substituir.

12.º ano · Funções

Exemplo 2: Continuidade

Seja k um número real e seja f a função, de domínio ℝ, definida por f(x) = (x² − 9)/(x − 3) se x < 3 e f(x) = kx − 3 se x ≥ 3.

Para que valor de k a função f é contínua em x = 3?

  1. (A)−1
  2. (B)1
  3. (C)2
  4. (D)3
Ver resposta e resolução

Opção correta: (D) 3

Para x < 3, f(x) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3, logo o limite de f(x) quando x tende para 3 por valores inferiores é 6. Para x ≥ 3, f(x) = kx − 3, contínua, com f(3) = 3k − 3. f é contínua em 3 se 3k − 3 = 6, ou seja, k = 3.

  • (A) Incorreta. −1 resulta de trocar o sinal do limite à esquerda (−6 em vez de 6): 3k − 3 = −6.
  • (B) Incorreta. 1 resulta de tomar o limite à esquerda como 0, substituindo x por 3 só no numerador: 3k − 3 = 0.
  • (C) Incorreta. 2 resulta de esquecer o termo −3 do segundo ramo: 3k = 6.
  • (D) Correta. O limite à esquerda é 6 e f(3) = 3k − 3; a continuidade exige 3k − 3 = 6, isto é, k = 3.

Dica de estudo: Numa função definida por ramos, iguale o limite de cada lado ao valor da função no ponto; antes, simplifique a indeterminação 0/0.

Questão autoral da Neves Scholar IA, elaborada com base nas Aprendizagens Essenciais (DGE); não é item de exame nacional.

Exercício 3: levantar uma indeterminação

Antes de aplicar a regra de L'Hôpital, confirme que há mesmo uma indeterminação do tipo 0/0 ou ∞/∞. Depois, derive o numerador e o denominador em separado.

12.º ano · Funções

Exemplo 3: Regra de L'Hôpital

Qual é o valor do limite de (e²ˣ − 1)/(x² + x) quando x tende para 0?

  1. (A)0
  2. (B)1/2
  3. (C)2
  4. (D)+∞
Ver resposta e resolução

Opção correta: (C) 2

Quando x tende para 0, o numerador e o denominador tendem para 0: indeterminação 0/0. Pela regra de L'Hôpital, o limite é o de 2e²ˣ/(2x + 1), que é 2 × 1/1 = 2. Também se chega lá com o limite notável: (e²ˣ − 1)/(2x) × 2/(x + 1) tende para 1 × 2 = 2.

  • (A) Incorreta. 0 resulta de considerar que «0/0» vale 0; trata-se de uma indeterminação, que tem de ser levantada.
  • (B) Incorreta. 1/2 resulta de inverter o quociente das derivadas na regra de L'Hôpital: (2x + 1)/(2e²ˣ) em x = 0.
  • (C) Correta. Indeterminação 0/0; pela regra de L'Hôpital, o limite é o de 2e²ˣ/(2x + 1), que é 2/1 = 2.
  • (D) Incorreta. +∞ resulta de olhar só para o denominador, que tende para 0, esquecendo que o numerador também tende para 0.

Dica de estudo: Antes de aplicar a regra de L'Hôpital, confirme que há indeterminação 0/0 ou ∞/∞, e derive o numerador e o denominador em separado.

Questão autoral da Neves Scholar IA, elaborada com base nas Aprendizagens Essenciais (DGE); não é item de exame nacional.

Erros que custam pontos

  • Confundir extremante (a abcissa) com extremo (o valor da função).
  • Estudar a concavidade com o sinal da primeira derivada, em vez da segunda.
  • Aplicar o teorema de Bolzano-Cauchy sem verificar a continuidade no intervalo.
  • Esquecer o fator da regra da cadeia ao derivar uma função composta, como e^(0,1t).
  • Apresentar um valor aproximado quando se pedia o valor exato.

Para o resto da preparação, veja Como estudar Matemática A para o exame nacional e a página Matemática A.

Fontes

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